대칭에 대한 해결 가능한 모델

Scientific Reports 13권, 기사 번호: 13768(2023) 이 기사 인용

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분석적으로 해결 가능한 모델은 상전이 및 패턴 형성 분기 연구의 벤치마크입니다. 이러한 모델은 균일한 매체에서 두 번째 종류의 상 전이로 알려져 있지만 솔리톤을 생성하는 적분 방정식은 내부 전이를 허용하지 않기 때문에 국부적인 상태(솔리톤)에 대해서는 그렇지 않습니다. 델타 함수의 대칭 쌍으로 표시되는 결합된 선형-비선형 이중 우물 전위에 고정된 솔리톤에 대한 첫 번째 및 두 번째 종류(별칭 하위 및 초임계 분기)의 대칭 파괴 위상 전이에 대한 해결 가능한 모델을 소개합니다. 비선형성의 셀프 포커싱 및 디포커싱 징후가 모두 고려됩니다. 전자의 경우 대칭 및 비대칭 솔리톤에 대해 정확한 솔루션이 생성됩니다. 솔루션은 첫 번째 종류와 두 번째 종류의 대칭 파괴 전이(즉, 각각 하위 및 초임계 분기) 사이의 전환을 명시적으로 보여줍니다. 자체 초점 흐림 모델에서 솔루션은 첫 번째 여기 상태의 비대칭성을 깨뜨리는 두 번째 종류의 전이를 보여줍니다.

물리적 시스템에서 집단 여기의 역학은 기본 회절 또는 분산, 필드 또는 파동 함수의 비선형 자체 상호 작용, 필드에 작용하는 전위의 상호 작용에 의해 결정됩니다. 이러한 맥락에서 선형 시스템의 바닥 상태(GS)는 기본 전위의 대칭을 재현하는 반면 여기 상태는 동일한 대칭의 다른 표현을 실현할 수 있다는 것이 일반적으로 알려져 있습니다1. 특히, 대칭 이중 우물 전위(DWP)에 갇힌 입자의 파동 함수는 짝수인 반면, 첫 번째 들뜬 상태는 홀수입니다.

이러한 기본 특성은 선형 슈뢰딩거 방정식으로 입증되지만 보스-아인슈타인 응축물(BEC)의 동역학은 평균 장 근사법에서 입자 간의 상호 작용을 고려하는 그로스-피타예프스키 방정식(GPE)에 의해 지배됩니다. 단일 입자 파동 함수에 대한 슈뢰딩거 방정식의 삼차 항입니다. 혐오스럽거나 매력적인 상호작용은 SDF(self-defocusing) 또는 SF(self-focusing) 기호가 있는 3차 항으로 표시됩니다. 본질적으로 동일한 모델은 유명한 비선형 슈뢰딩거 방정식(NLSE)입니다. 이 방정식은 비선형 매체4에서 광파의 전파를 제어하고 약한 회절 또는 분산과 입방 SF 비선형성5의 상호 작용을 제어하는 보편적인 모델로서 다른 많은 실현을 찾습니다5 . 광학에서 트래핑 전위에 대응하는 용어는 굴절률의 가로 프로파일에 의해 유도된 도파 구조를 설명하는 NLSE의 용어입니다.

DWP와 SF 비선형성을 결합한 모델의 GS 구조는 약한 비선형 영역에서만 기본 전위의 대칭을 따릅니다. SF 비선형성 강도가 증가함에 따라 발생하는 일반적인 효과는 대칭 파괴 위상 전이이며, 이는 DWP6의 두 우물에 대해 GS를 비대칭으로 만듭니다. 자발적 대칭 파괴(SSB)의 이러한 효과는 특히 GS가 축퇴될 수 없다는 일반적으로 알려진 양자 역학의 원리가 비선형 모델에서는 더 이상 유효하지 않음을 의미합니다. 분명히 SSB는 축퇴를 발생시킵니다. 두 개의 상호 대칭적인 GS 쌍으로, 최대 파동 함수는 기본 DWP의 왼쪽 또는 오른쪽 전위 우물에 고정되어 있습니다. 동일한 시스템은 비대칭 상태와 공존하는 대칭 상태를 허용하지만 SSB 지점 위에서는 대칭 파괴 섭동에 대해 불안정한 GS를 나타내지 않습니다.

비선형성의 SDF 부호를 갖는 시스템에서 GS는 대칭적이고 안정적으로 유지되는 반면 SSB 전이는 첫 번째 들뜬 상태의 반대칭을 깨뜨립니다. 가리키다). 자발적으로 깨진 반대칭이 있는 결과 상태는 중심에서 오른쪽 또는 왼쪽으로 이동하는 영점을 유지합니다.

0\)40,41,42,43, immediately implies that the family of solutions (3) in the case of the SF nonlinearity, \(\sigma =+1\), and \(\varepsilon >0\) is stable in its entire existence region, \(k>\varepsilon ^{2}/2\) (and completely unstable if the linear potential is repulsive, with \(\varepsilon <0\)). For localized states supported by the SDF nonlinearity, with \(\sigma =-1\), the VK stability criterion is replaced by the anti-VK one44, \(dP/dk<0\). Accordingly, in this case the localized states (3) are also stable in their entire existence region, which is \(00\), implies \(H_{0}<0\) for \(\varepsilon >0\), hence the localized solution represents a true bound state with the negative energy./p>0\) (the attractive potential), while both SF and SDF signs of the nonlinearity, \(\sigma =\pm 1\), will be addressed. For \(\sigma =+1\), the solution explicitly demonstrates gradual switch from the extreme subcritical bifurcation to the supercritical one via a regular subcritical bifurcation, in which the backward-going (lower) branches of unstable asymmetric states reverse into stable upper branches at turning points. For \(\sigma =-1\) the results are more straightforward, corroborating the stability of the symmetric GS and the occurrence of the supercritical antisymmetry-breaking transition in the first excited state./p>+1/2\), respectively, and a combination of these terms at \(|x|<1/2\). At points \(x=\pm 1/2\), the solutions are matched by the continuity condition for U(x) and the jump condition for the derivative dU/dx,/p>1\) and \(E(\varepsilon ,k)<1\), respectively. As it follows from Eq. (17), this condition implies that, in the case of SF nonlinearity, the symmetric state with given propagation constant k exists if the strength of the linear \(\delta\)-function potential does not exceed a maximum value,/p>\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\). The existence boundary (18) is shown by the red curve in Fig. 2a./p>0\)./p>2\). For a given propagation constant, the asymmetric solution exists if \(\varepsilon\) does not exceed a respective maximum value,/p>\) \(P_{{\textrm{asy}}}(k\rightarrow \infty)\equiv 1\), and it becomes the second-order transition for \(P_{{\textrm{bif}} }<1\). The corresponding equation, \(P_{{\textrm{bif}}}=1\), combined with Eq. (24), in which \(\varepsilon <\left( \varepsilon _{\max }\right) _{ {\textrm{asy}}}\) is replaced, as said above, by \(\varepsilon =\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{asy}}}\), amounts to/p>0\), are stable. Actually, the instability intervals for the asymmetric solitons are very narrow./p>\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\) [see Eq. (18)], is always stable, realizing the model’s GS. Accordingly, it is not subject to SSB. More interesting is the first excited state above the GS, i.e., the antisymmetric one, given by Eqs. (11)–(13) (with \(\sigma =-1\))/p>1\), in the area of the \(\left( \mu ,\varepsilon \right)\) plane above the brown boundary shown in Fig. 2b. Because Eq. (35) yields \(\varepsilon \ge 1\) in the limit of \(k\rightarrow 0\), there are no antisymmetric states at \(\varepsilon <1\). The integral power of the antisymmetric state is/p>1\) and \(\varepsilon >3/2\), respectively, in accordance with what is said above for the generic solutions of the same types./p>2\)./p>